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Come dimostrare se un numero è razionale o irrazionale
Prima o poi, mi piacerebbe approfondire qui i due test di Richard Dedekind intitolati:
ma come al solito il tempo è tiranno.
Perciò mi limiterò a proporre alcuni esercizi ricreativi sulle dimostrazioni di razionalità e irrazionalità.
In pratica, si tratta di stabilire quali dei seguenti numeri sono razionali e quali irrazionali.
(con n>2, intero)
sin 1°
cos 1°
tan 1°
(vero o falso?)
(per quali valori interi di n ?)
Vi saluto con un detto Pitagorico.
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I numeri interi li ha creati il Demiurgo.
I numeri razionali li ha costruiti un Uomo Ragionevole.
I numeri irrazionali sono opera di quel pazzo di Ippaso
bambina giacche giacche woolrich bambina woolrich giacche bambina Detto attribuito a Zalmoxis, lo schiavo di Pitagora.
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Un particolare ringraziamento a Bruno e Gaspero (Infinito) per i le proposte e i contributi a questa pagina, attraverso il forum.
Troppo facile
Troppo facile
E qui viene il punto: che cosa è ?
Per definizione di logaritmo, è l'esponente da dare a 10 per ottenere 3.
Dunque:
woolrich bambina giacche giacche giacche bambina bambina woolrich Ma chi mi garantisce che ESISTE un tale esponente? L'assioma di Dedekind?
Più in generale, le espressioni di questa forma:
Se giacche bambina giacche bambina giacche woolrich bambina woolrich b è razionale e a... allora sono numeri razionali.
è del tipo:
che è un numero razionale, essendo k intero.
sin 1° è irrazionale
Queste formule fanno parte dell'incrostazione scolastica:
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Da queste due si può dedurre, ad esempio, che:
SE sin x è razionale, ALLORA anche sin(3x) e sin (5x) sono razionali.
Procedendo con le incrostazioni, si dimostra che:
sin(nx) = un polinomio in sin x a coefficienti ed esponenti interi (se n è dispari)
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Sostituendo 1° (un grado) al posto di x, si ottiene:
Blu Dimagriscono Repellente Il North Di Xl Uomini Sails Marinaio tcqXx80Ew0sin(n*1°) = un polinomio in sin 1° (se n è dispari)
Supponiamo per assurdo che sin 1° sia razionale.
Dunque:
blu con North logo in Sails feltro Cappello di nylon Sails North rgqpgRvxwYSE sin 1° è razionale ALLORA il seno di un qualunque angolo ampio n dispari gradi è razionale. Ad esempio, anche sin(45°) dovrebbe essere razionale.
Ma è irrazionale.
woolrich bambina bambina giacche giacche giacche woolrich bambina Questo contraddice la supposizione.
Dunque sin 1° è irrazionale.
Quante sono le dimostrazioni di irrazionalità NON fatte per assurdo?Donna's the Ruby torino North Giacca Face north Raschel The face 7vxUqn
cos 1° è irrazionale
bambina giacche bambina woolrich bambina woolrich giacche giacche Dimostrazione simile alla precedente.
tan 1° è irrazionale
La dimostrazione è di Tino
Lemma: se x, y, x+y sono strettamente compresi tra 0 e pi/2 e tan x, tan x sono razionali, allora tan(x+y) è razionale.
Per dimostrarlo basta scrivere la formula di addizione della tangente:
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in quanto i razionali sono chiusi per somme moltiplicazioni e divisioni.
Questo lemma si estende facilmente ad un numero finito di addendi.
giacche woolrich bambina bambina giacche woolrich giacche bambina Ora, supponendo che tan 1° sia razionale, potremo scrivere (gli argomenti sono in gradi)
assurdo. Quindi tan 1° non è razionale. Quindi è irrazionale.cerco giacca moncler invernali giubbotti donna uomo piumino moncler xTqYO
Rilancio: per quali gradi interi compresi fra 1° e 89° la tangente di n gradi è un numero irrazionale?
bambina giacche giacche woolrich bambina giacche woolrich bambina Bruno ha risposto: solo tan 45° = 1 è razionale.
(vero o falso?)
Da scrivere qui.
(per quali valori interi di n ?)
Da scrivere qui.
Data creazione: agosto 2007
bambina woolrich giacche woolrich giacche bambina giacche bambina Ultimo aggiornamento: agosto 2007
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