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Come dimostrare se un numero è razionale o irrazionale

Prima o poi, mi piacerebbe approfondire qui i due test di Richard Dedekind intitolati:

ma come al solito il tempo è tiranno.

Perciò mi limiterò a proporre alcuni esercizi ricreativi sulle dimostrazioni di razionalità e irrazionalità.
In pratica, si tratta di stabilire quali dei seguenti numeri sono razionali e quali irrazionali.

(con n>2,  intero)

sin 1°

cos 1°

tan 1°

(vero o falso?)

(per quali valori interi di n ?)

Vi saluto con un detto Pitagorico.

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I numeri interi li ha creati il Demiurgo.
I numeri razionali li ha costruiti un Uomo Ragionevole.
I numeri irrazionali sono opera di quel pazzo di Ippaso

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Detto attribuito a Zalmoxis, lo schiavo di Pitagora.
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Un particolare ringraziamento a Bruno e Gaspero (Infinito) per i le proposte e i contributi a questa pagina, attraverso il forum.



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E qui viene il punto: che cosa è ?

Per definizione di logaritmo, è l'esponente da dare a 10 per ottenere 3.

Dunque:

moncler neonato giacca moncler moncler giacca moncler neonato giacca giacca neonato giacca neonato moncler Ma chi mi garantisce che ESISTE un tale esponente? L'assioma di Dedekind?

Più in generale, le espressioni di questa forma:

Se neonato neonato neonato moncler moncler neonato moncler giacca moncler giacca giacca giacca giacca moncler b è razionale e a... allora sono numeri razionali.


è del tipo:

che è un numero razionale, essendo k intero.


sin 1° è irrazionale

Queste formule fanno parte dell'incrostazione scolastica:

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Da queste due si può dedurre, ad esempio, che:

SE sin x è razionale, ALLORA anche sin(3x) e sin (5x) sono razionali.

Procedendo con le incrostazioni, si dimostra che:

sin(nx) = un polinomio in sin x a coefficienti ed esponenti interi (se n è dispari)

vedi: Sintetico Collective Vestiaire kaki Woolrich Cappotti 7Xfq11

Sostituendo 1° (un grado) al posto di x, si ottiene:

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sin(n*1°) = un polinomio in sin 1° (se n è dispari)

Supponiamo per assurdo che sin 1° sia razionale.

Dunque:

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SE sin 1° è razionale ALLORA il seno di un qualunque angolo ampio n dispari gradi è razionale. Ad esempio, anche sin(45°) dovrebbe essere razionale.

Ma è irrazionale.

neonato moncler giacca giacca neonato giacca giacca moncler neonato neonato giacca moncler moncler moncler Questo contraddice la supposizione.

Dunque sin 1° è irrazionale.

Quante sono le dimostrazioni di irrazionalità NON fatte per assurdo?Quest Giacca invernale North Face The nero giacche Insulated Uomo gIxEScwH


cos 1° è irrazionale

moncler moncler neonato giacca moncler giacca moncler giacca neonato neonato moncler giacca giacca neonato Dimostrazione simile alla precedente.


tan 1° è irrazionale

La dimostrazione è di Tino

Lemma: se x, y, x+y sono strettamente compresi tra 0 e pi/2 e tan x, tan x sono razionali, allora tan(x+y) è razionale.

Per dimostrarlo basta scrivere la formula di addizione della tangente:

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in quanto i razionali sono chiusi per somme moltiplicazioni e divisioni.

Questo lemma si estende facilmente ad un numero finito di addendi.

moncler giacca moncler giacca neonato moncler neonato giacca neonato giacca neonato giacca moncler moncler Ora, supponendo che tan 1° sia razionale, potremo scrivere (gli argomenti sono in gradi)

assurdo. Quindi tan 1° non è razionale. Quindi è irrazionale.giacca e a neri Woolrich quadri rossi 6xfqwFA

Rilancio: per quali gradi interi compresi fra 1° e 89° la tangente di n gradi è un numero irrazionale?

neonato giacca neonato giacca neonato neonato moncler moncler giacca moncler giacca moncler giacca moncler Bruno ha risposto: solo tan 45° = 1 è razionale.


(vero o falso?)

Da scrivere qui.


(per quali valori interi di n ?)

Da scrivere qui.


Data creazione: agosto 2007

moncler giacca moncler giacca giacca neonato moncler giacca giacca neonato moncler moncler neonato neonato Ultimo aggiornamento: agosto 2007

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