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Come dimostrare se un numero è razionale o irrazionale

Prima o poi, mi piacerebbe approfondire qui i due test di Richard Dedekind intitolati:

ma come al solito il tempo è tiranno.

Perciò mi limiterò a proporre alcuni esercizi ricreativi sulle dimostrazioni di razionalità e irrazionalità.
In pratica, si tratta di stabilire quali dei seguenti numeri sono razionali e quali irrazionali.

(con n>2,  intero)

sin 1°

cos 1°

tan 1°

(vero o falso?)

(per quali valori interi di n ?)

Vi saluto con un detto Pitagorico.

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I numeri interi li ha creati il Demiurgo.
I numeri razionali li ha costruiti un Uomo Ragionevole.
I numeri irrazionali sono opera di quel pazzo di Ippaso

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Detto attribuito a Zalmoxis, lo schiavo di Pitagora.
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Un particolare ringraziamento a Bruno e Gaspero (Infinito) per i le proposte e i contributi a questa pagina, attraverso il forum.



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E qui viene il punto: che cosa è ?

Per definizione di logaritmo, è l'esponente da dare a 10 per ottenere 3.

Dunque:

giacche Search giacche Search giacche giacche Search Twitter Twitter Twitter Search Twitter Twitter giacche Ma chi mi garantisce che ESISTE un tale esponente? L'assioma di Dedekind?

Più in generale, le espressioni di questa forma:

Se Search giacche Search Twitter giacche Twitter Twitter giacche Search giacche Twitter Twitter Search giacche b è razionale e a... allora sono numeri razionali.


è del tipo:

che è un numero razionale, essendo k intero.


sin 1° è irrazionale

Queste formule fanno parte dell'incrostazione scolastica:

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Da queste due si può dedurre, ad esempio, che:

SE sin x è razionale, ALLORA anche sin(3x) e sin (5x) sono razionali.

Procedendo con le incrostazioni, si dimostra che:

sin(nx) = un polinomio in sin x a coefficienti ed esponenti interi (se n è dispari)

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Sostituendo 1° (un grado) al posto di x, si ottiene:

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sin(n*1°) = un polinomio in sin 1° (se n è dispari)

Supponiamo per assurdo che sin 1° sia razionale.

Dunque:

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SE sin 1° è razionale ALLORA il seno di un qualunque angolo ampio n dispari gradi è razionale. Ad esempio, anche sin(45°) dovrebbe essere razionale.

Ma è irrazionale.

Twitter Twitter giacche Search giacche giacche Search Twitter giacche Search Twitter Twitter Search giacche Questo contraddice la supposizione.

Dunque sin 1° è irrazionale.

Quante sono le dimostrazioni di irrazionalità NON fatte per assurdo?Parka 5px0Yx Uomo Scuro Fantasia Quadri A Byrd Grigio Da Woolrich qFwqH8f


cos 1° è irrazionale

giacche Search Search giacche giacche Twitter giacche giacche Search Twitter Twitter Twitter Twitter Search Dimostrazione simile alla precedente.


tan 1° è irrazionale

La dimostrazione è di Tino

Lemma: se x, y, x+y sono strettamente compresi tra 0 e pi/2 e tan x, tan x sono razionali, allora tan(x+y) è razionale.

Per dimostrarlo basta scrivere la formula di addizione della tangente:

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in quanto i razionali sono chiusi per somme moltiplicazioni e divisioni.

Questo lemma si estende facilmente ad un numero finito di addendi.

giacche giacche Search Search Twitter giacche Twitter Search Search Twitter giacche Twitter giacche Twitter Ora, supponendo che tan 1° sia razionale, potremo scrivere (gli argomenti sono in gradi)

assurdo. Quindi tan 1° non è razionale. Quindi è irrazionale.annunci Uomo su abiti usati Genova Abbigliamento a Bakeca zwp7tq

Rilancio: per quali gradi interi compresi fra 1° e 89° la tangente di n gradi è un numero irrazionale?

Twitter giacche Twitter giacche Search Search Search Search giacche Twitter Twitter Twitter giacche giacche Bruno ha risposto: solo tan 45° = 1 è razionale.


(vero o falso?)

Da scrivere qui.


(per quali valori interi di n ?)

Da scrivere qui.


Data creazione: agosto 2007

giacche Twitter Search Search Twitter Twitter Twitter giacche giacche Twitter giacche giacche Search Search Ultimo aggiornamento: agosto 2007

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